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\makeindex


\title{Anfangsgr{\"u}nde der mathematischen Logik}
\author{
Michael Meyling
}

\begin{document}

\maketitle

\setlength{\parskip}{5pt plus 2pt minus 1pt}
\mbox{}
\vfill

\par
Die Quelle f{"ur} dieses Dokument ist hier zu finden:
\par
\url{http://www.qedeq.org/0_04_02/doc/math/qedeq_logic_v1.xml}

\par
Die vorliegende Publikation ist urheberrechtlich gesch{"u}tzt.
\par
Bei Fragen, Anregungen oder Bitte um Aufnahme in die Liste der abh{"a}ngigen Module schicken Sie bitte eine EMail an die Adresse \href{mailto:mime@qedeq.org}{mime@qedeq.org}

\par
Die Autoren dieses Dokuments sind:
Michael Meyling \href{mailto:michael@meyling.com}{michael@meyling.com}

\setlength{\parskip}{0pt}
\tableofcontents

\setlength{\parskip}{5pt plus 2pt minus 1pt}

\chapter*{Zusammenfassung\index{Zusammenfassung}} \label{chapter0} \hypertarget{chapter0}{}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Zusammenfassung\index{Zusammenfassung}}

Das Projekt \textbf{Hilbert II} besch{\"a}ftigt sich mit der formalen Darstellung und Dokumentation von mathematischem Wissen. Dazu stellt \textbf{Hilbert II} eine Programmsuite zur L{\"o}sung der damit zusammenh{\"a}ngenden Aufgaben bereit. Auch die konkrete Dokumentation mathematischen Grundlagenwissens mit diesen Hilfsmitteln geh{\"o}rt zum Ziel dieses Projekts. 
F{\"u}r weitere Informationen {\"u}ber das Projekt \textbf{Hilbert II} siehe auch unter \url{http://www.qedeq.org}.

\par
Dieses Dokument beschreibt die logischen Axiome, Schluss- und Metaregeln mit denen logische Schl{\"u}sse durchgef{\"u}hrt werden k{\"o}nnen.

\par
Die Darstellung erfolgt in axiomatischer Weise und in formaler Form. Dazu wird ein Kalk{\"u}l angegeben, der es gestattet alle wahren Formeln abzuleiten. Weitere abgeleitete Regeln, S{\"a}tze, Definitionen, Abk{\"u}rzungen und Syntaxerweiterungen entsprechen im Wesentlichen der mathematischen Praxis.

\par
Dieses Dokument liegt auch selbst in einer formalen Sprache vor, der Ursprungstext ist eine XML-Datei, deren Syntax mittels der XSD \url{http://www.qedeq.org/current/xml/qedeq.xsd} definiert wird.

\par
Dieses Dokument ist noch sehr in Arbeit und wird von Zeit zu Zeit aktualisiert. Insbesondere werden an den durch {\glqq+++\grqq} gekennzeichneten Stellen noch Erg{\"a}nzungen oder {\"A}nderungen vorgenommen.

%% end of chapter Zusammenfassung\index{Zusammenfassung}

\chapter*{Vorwort} \label{chapter1} \hypertarget{chapter1}{}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Vorwort}

Das ganze Universium der Mathematik kann mit den Mitteln der Mengenlehre entfaltet werden. Au{\ss}er den Axiomen der Mengenlehre werden dazu nur noch logische Axiome und Regeln ben{\"o}tigt. Diese elementaren Grundlagen gen{\"u}gen, um die komplexesten mathematischen Strukturen zu definieren und S{\"a}tze {\"u}ber solche Strukturen beweisen zu k{\"o}nnen. Dieses Vorgehen l{\"a}sst 
sich vollst{\"a}ndig formalisieren und auf die einfache Manipulation von Zeichenketten zur{\"u}ckf{\"u}hren. Die inhaltliche Deutung der Zeichenfolgen stellt dann das mathematische Universum dar.

\par
Dabei ist es nat{\"u}rlich mehr als nur bequem, Abk{\"u}rzungen einzuf{\"u}hren und weitere abgeleitete Regeln zu verwenden. Diese Bequemlichkeiten k{\"o}nnen aber jederzeit\footnote{Zumindest ist eine solche R{\"u}ckf{\"u}hrung theoretisch immer m{\"o}glich. Praktisch kann sie jedoch an der Endlichkeit der zur Verf{\"u}gung stehenden Zeit und des nutzbaren Raums scheitern. So wird es 
sicherlich nicht m{\"o}glich sein, die nat{\"u}rliche Zahl $1.000.000.000$ in Mengenschreibweise anzugeben.} eliminiert und durch die grundlegenden Begrifflichkeiten ersetzt werden.

\par
Dieses Projekt entspringt meinem Kindheitstraum eine solche Formalisierung konkret vorzunehmen. Inzwischen sind die technischen M{\"o}glichkeiten so weit entwickelt, dass eine Realisierung m{\"o}glich erscheint.

\par
Dank geb{\"u}hrt den Professoren \emph{W.~Kerby} und \emph{V.~G{\"u}nther} der Hamburger Universit{\"a}t f{\"u}r ihre inspirierenden Vorlesungen zu den Themen Logik und Axiomatische Mengenlehre. Ohne diese entscheidenden Impulse h{\"a}tte es dieses Projekt nie gegeben.

\par
Besonderer Dank geht an meine Frau \emph{Gesine~Dr{\"a}ger} und unseren Sohn \emph{Lennart} f{\"u}r ihre Unterst{\"u}tzung und ihr Verst{\"a}ndnis f{\"u}r ihnen fehlende Zeit -- wobei der Verst{\"a}ndnisgrad unseres Kleinkinds vielleicht noch nicht so stark ausgepr{\"a}gt ist.

\par
\vspace*{1cm} Hamburg, Dezember 2010 \\
\hspace*{\fill} Michael Meyling

%% end of chapter Vorwort

\chapter*{Einleitung} \label{chapter2} \hypertarget{chapter2}{}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Einleitung}

An den Anfang sei ein Zitat aus einem von \emph{D. Hilbert} im September 1922 gehaltenen Vortrag\footnote{Vortrag, gehalten in der Deutschen Naturforscher-Gesellschaft. September 1922.} mit dem programmatischen Titel {\glqq Die logischen Grundlagen der Mathematik\grqq} gesetzt.

\par
\begin{quote} {
\glqq Der Grundgedanke meiner Beweistheorie ist folgender:
\par
Alles, was im bisherigen Sinne die Mathematik ausmacht, wird streng formalisiert, so da{\ss} die eigentliche Mathematik oder die Mathematik in engerem Sinne zu einem Bestande an Formeln wird. Diese unterscheiden sich von den gew{\"o}hnlichen Formeln der Mathematik nur dadurch, da{\ss} au{\ss}er den gew{\"o}hnlichen Zeichen noch die logischen Zeichen, insbesondere die f{\"u}r {\glqq folgt\grqq} ($\rightarrow$) und f{\"u}r {\glqq nicht\grqq} ($\bar{\quad}$) darin vorkommen. Gewisse Formeln, die als Bausteine des formalen Geb{\"a}udes der Mathematik dienen, werden Axiome genannt. Ein Beweis ist die Figur, die uns als solche anschaulich vorliegen mu{\ss}; er besteht aus Schl{\"u}ssen verm{\"o}ge des Schlu{\ss}schemas\\
\begin{eqnarray*}
& A & \\
& A \rightarrow B& \\
\cline{2-3}
 & B &
\end{eqnarray*}
wo jedesmal die Pr{\"a}missen, d.~h. die betreffenden Formeln $A$ und $A \rightarrow B$ jede entweder ein Axiom ist bzw. direkt durch Einsetzung aus einem Axiom entsteht oder mit der Endformel $B$ eines Schlusses {\"u}bereinstimmt, der vorher im Beweise vorkommt bzw. durch Einsetzung aus einer solchen Endformel entsteht. Eine Formel soll beweisbar hei{\ss}en, wenn sie entweder ein Axiom ist bzw. durch Einsetzen aus einem Axiom entsteht oder die Endformel eines Beweises ist.\grqq}
\end{quote}

\par
Am Anfang steht die Logik. Sie stellt das R{\"u}stzeug zur Argumentation bereit. Sie hilft beim Gewinnen von neuen Aussagen aus bereits vorhandenen. Sie ist universell anwendbar. 

\par
In dem 1928 erschienenen Buch \emph{Grundz{\"u}ge der theoretischen Logik} formulierten \emph{D.~Hilbert} und \emph{W.~Ackermann} ein axiomatisches System der Aussagenlogik, welches die Basis f{\"u}r das hier verwendete bildet. Durch das von \emph{P.~S.~Novikov} 1959 angegebene Axiomensystem und Regelwerk der Pr{\"a}dikatenlogik wird das System verfeinert.

\par
In diesem Text wird ein Pr{\"a}dikatenkalk{\"u}l erster Stufe mit Identit{\"a}t und Funktoren vorgestellt, der die Grundlagen f{\"u}r die Entwicklung der mathematischen Theorie schafft. Es werden im Folgenden nur die Ergebnisse ohne weitere Beweise und in knapper Form pr{\"a}sentiert.\footnote{Die Beweise werden zu einem sp{\"a}teren Zeitpunkt erg{\"a}nzt.}

%% end of chapter Einleitung

\chapter{Sprache} \label{chapter3} \hypertarget{chapter3}{}

Um mathematische Aussagen pr{\"a}zise formulieren zu k{\"o}nnen, wird in diesem Kapitel eine formale Sprache definiert. Obgleich dieses Dokument mathematischen Inhalt sehr formal beschreibt, reicht es nicht aus um als Definition f{\"u}r ein computerlesbares Dokumentformat zu dienen. Daher muss eine solch extensive Spezifikation an anderer Stelle erfolgen.
Das daf{\"u}r ausgew{\"a}hlte Format ist die \emph{Extensible Markup Language} abgek{\"u}rzt \emph{XML}. XML beschreibt eine Menge von Regeln f{\"u}r den Aufbau elektronischer Dokumente.\footnote{Siehe \url{http://www.w3.org/XML/} f{\"u}r weitere Informationen.} Die daran ausgerichtete formale Syntaxspezifikation kann hier gelesen werden: \url{http://www.qedeq.org/current/xml/qedeq.xsd}.
Damit wird ein mathematisches Dokumentenformat festgelegt, das die Erzeugung von \LaTeX B{\"u}chern und eine automatische Beweis{\"u}berpr{\"u}fung erm{\"o}glicht. 
Weitere Syntaxbeschr{\"a}nkungen und einige Erkl{\"a}rungen werden beschrieben in \url{http://www.qedeq.org/current/doc/project/qedeq_logic_language_en.pdf}.

\par
Auch dieses Dokument ist eine (oder wurde erzeugt aus einer) XML-Datei, die hier zu finden ist \url{http://wwww.qedeq.org/0_04_02/doc/math/qedeq_logic_v1.xml}.
Aber nun folgen wir einfach dem traditionellen mathematischen Weg, die Anfangsg{\"u}nde der mathematischen Logik vorzustellen.

\section{Terme\index{Term} und Formeln\index{Formel}} \label{chapter3_section0} \hypertarget{chapter3_section0}{}
Als Symbole kommen die \emph{logischen Symbole} $L = \{$ \mbox{`$\neg$'}, \mbox{`$\vee$'}, \mbox{`$\wedge$'},             \mbox{`$\leftrightarrow$'}, \mbox{`$\rightarrow$'}, \mbox{`$\forall$'}, \mbox{`$\exists$'} $\}$, die 
\emph{Pr{\"a}dikatenkonstanten}\index{Pr{\"a}dikatenkonstante}\index{Konstante!Pr{\"a}dikaten-} $C = \{c^k_i~|~i, k \in \omega\}$, die 
\emph{Funktionsvariablen}\index{Funktionsvariablen}\index{Variable!Funktions-}\footnote{Funktionsvariablen dienen der einfacheren Notation und werden beispielsweise zur Formulierung eines identit{\"a}tslogischen Satzes ben{\"o}tigt: $x = y \rightarrow f(x) = f(y)$. Ausserdem bereitet ihre Einf{\"u}hrung die sp{\"a}tere Syntaxerweiterung zur Anwendung von funktionalen Klassen vor.} $F = \{f^k_i~|~i, k \in \omega \land k > 0\}$, die \emph{Funktionskonstanten}\index{Funktionskonstanten}\index{Konstante!Funktions-}\footnote{Funktionskonstanten dienen ebenfalls der Bequemlichkeit und werden sp{\"a}ter f{\"u}r direkt 
definierte Klassenfunktionen verwendet. So zum Beispiel zur Potenzklassenbildung, zur Vereinigungsklassenbildung und f{\"u}r die
Nachfolgerfunktion. All diese Funktionskonstanten k{\"o}nnen auch als Abk{\"u}rzungen verstanden werden.}
$H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, die \emph{Subjektvariablen}\index{Subjektvariable}\index{Variable!Subjekt-} 
$V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, sowie die \emph{Pr{\"a}dikatenvariablen}\index{Pr{\"a}dikatenvariable}\index{Variable!Pr{\"a}dikaten-}
$P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$ vor.\footnote{Unter $\omega$ werden die nat{\"u}rlichen Zahlen, die Null eingeschlossen, verstanden. Alle bei den Mengenbildungen beteiligten Symbole werden als paarweise verschieden vorausgesetzt. Das bedeutet z.~B.: $f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$ und $h^k_i \neq v_j$.} Unter der \emph{Stellenzahl} eines Operators wird der obere Index verstanden. Die Menge der nullstelligen Pr{\"a}dikatenvariablen wird auch als Menge der
\emph{Aussagenvariablen}\index{Aussagenvariable}\index{Variable!Aussagen-} bezeichnet: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$. 
F{\"u}r die Subjektvariablen werden abk{\"u}rzend auch bestimmte Kleinbuchstaben geschrieben. Die Kleinbuchstaben stehen f{\"u}r verschiedene Subjektvariablen: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'}, \mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'}, \mbox{$v_5 = $ `$z$'}. Weiter werden als Abk{\"u}rzungen verwendet: f{\"u}r die Pr{\"a}dikatenvariablen $p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', wobei die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird, f{\"u}r die Aussagenvariablen $a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' und $a_3 = $ `$C$'. Als Abk{\"u}rzungen f{\"u}r Funktionsvariablen wird festgelegt $f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', wobei wiederum die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird. Bei allen aussagenlogischen zwei\-stelligen Operatoren wird der leichteren Lesbarkeit wegen die Infixschreibweise benutzt, dabei werden die Symbole `(' und `)' verwandt. 
D.~h. f{\"u}r den Operator $\land$ mit den Argumenten $A$ und $B$ wird $(A \land B)$ geschrieben. 
Es gelten die {\"u}blichen Operatorpriorit{\"a}ten und die dazugeh{\"o}rigen Klammerregeln. Insbesondere die {\"a}u{\ss}eren Klammern werden in der Regel weggelassen. Auch werden leere Klammern nicht geschrieben.

\par
Nachfolgend werden die Operatoren mit absteigender Priorit{\"a}t aufgelistet.
$$
\begin{array}{c}
  \neg, \forall, \exists  \\
  \land \\
  \lor \\
  \rightarrow, \leftrightarrow \\
\end{array}
$$

\par
Der Begriff \emph{Term\index{Term}} wird im Folgenden rekursiv definiert:

\begin{enumerate}
\item Jede Subjektvariable ist ein Term. \item Seien $i, k \in \omega$ und $t_1$, \ldots, $t_k$ Terme. Dann ist auch $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ und falls $k > 0$, so auch $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ ein Term.
\end{enumerate}

Alle nullstelligen Funktionskonstanten $\{h^0_i~|~i, \in \omega\}$ sind demzufolge Terme, sie werden auch 
\emph{Individuenkonstanten}\index{Individuenkonstante}\index{Konstante!Individuen-} genannt.\footnote{Analog dazu k{\"o}nnten Subjektvariablen auch als nullstellige Funktionsvariablen definiert werden. Da die Subjektvariablen jedoch eine hervorgehobene Rolle spielen, werden sie auch gesondert bezeichnet.}

\par
Die Begriffe \emph{Formel\index{Formel}}, \emph{freie\index{freie Subjektvariable}\index{Subjektvariable!freie}} und 
\emph{gebundene\index{gebundene  Subjektvariable}\index{Subjektvariable!gebundene}} Subjektvariable werden rekursiv wie folgt definiert:

\begin{enumerate}

\item Jede Aussagenvariable ist eine Formel, solche Formeln enthalten keine freien oder gebundenen Subjektvariablen. 
\item Ist $p^k$ eine $k$-stellige Pr{\"a}dikatenvariable und $c^k$ eine $k$-stellige Pr{\"a}dikatenkonstante und sind $t_1, t_2, \ldots, t_k$ Terme, so sind $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ und $c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ Formeln. Dabei gelten alle in 
$t_1, t_2, \ldots, t_k$ vorkommenden Subjektvariablen als freie Subjektvariablen, gebundene Subjektvariablen kommen nicht 
vor.\footnote{Dieser zweite Punkt umfasst den ersten, welcher nur der Anschaulichkeit wegen extra aufgef{\"u}hrt ist.} 

\item Es seien $\alpha, \beta$ Formeln, in denen keine Subjektvariablen vorkommen, die in einer Formel gebunden und in der anderen frei sind. Dann sind auch $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$, $(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$, $(\alpha \leftrightarrow \beta)$ Formeln. Subjektvariablen, welche in $\alpha$ oder $\beta$ frei (bzw. gebunden) vorkommen, bleiben frei (bzw. gebunden).

\item Falls in der Formel $\alpha$ die Subjektvariable $x_1$ nicht gebunden vorkommt\footnote{D.~h. $x_1$ kommt h{\"o}chstens frei vor.}, dann sind auch $\forall x_1~\alpha$ und $\exists x_1~\alpha$ Formeln. Dabei wird $\forall$ als
\emph{Allquantor}\index{Allquantor}\index{Quantor!All-} und $\exists$ als \emph{Existenzquantor}\index{Existenzquantor}\index{Quantor!Existenz-} bezeichnet. Bis auf $x_1$ bleiben alle freien Subjektvariablen von $\alpha$ auch frei, und zu den gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ kommt $x_1$ hinzu. 

\end{enumerate}
Alle Formeln die nur durch Anwendung von 1. und 3. gebildet werden, hei{\ss}en Formeln der \emph{Aussagenalgebra}. 

\par
Es gilt f{\"u}r jede Formel $\alpha$: die Menge der freien und der gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ sind disjunkt.\footnote{Andere Formalisierungen erlauben z.~B. $\forall x_1~\alpha$ auch dann, wenn $x_1$ schon in $\alpha$ gebunden vorkommt. Auch Ausdr{\"u}cke wie $\alpha(x_1)~\land~(\forall~x_1~\beta)$ sind erlaubt. Es wird dann
f{\"u}r ein einzelnes Vorkommen einer Variablen definiert, ob es sich um ein freies oder gebundenes Vorkommen handelt.}

\par
Falls eine Formel die Gestalt $\forall x_1 ~ \alpha$ bzw. $\exists x_1 ~ \alpha$ besitzt, dann hei{\ss}t die Formel $\alpha$ der
\emph{Wirkungsbereich} des Quantors $\forall$ bzw. $\exists$.

\par
Alle Formeln, die beim Aufbau einer Formel mittels 1. bis 4. ben{\"o}tigt werden, hei{\ss}en \emph{Teilformeln}.


%% end of chapter Sprache

\chapter{Axiome und Schlussregeln} \label{chapter4} \hypertarget{chapter4}{}

Nun geben wir das Axiomensystem f{\"u}r die Pr{\"a}dikatenlogik an und formulieren die Regeln um daraus neue Formeln zu gewinnen.

\section{Axiome\index{Axiome!der Pr{\"a}dikatenlogik}\index{Pr{\"a}dikatenlogik!Axiome der}} \label{chapter4_section0} \hypertarget{chapter4_section0}{}
Die Grundlagen der bei \textbf{Hilbert II} verwendeten Logik werden hier zusammengestellt. Die folgende Kalk{\"u}lsprache und ihre Axiome basieren auf den Formulierungen von \emph{D.~Hilbert}, \emph{W.~Ackermann}\cite{hilback}, \emph{P.~Bernays} und \emph{P.~S.~Novikov}\cite{novikov}. Aus den hier angegebenen logischen Axiomen und den elementaren Schlussregeln k{\"o}nnen weitere Gesetzm{\"a}{\ss}igkeiten abgeleitet werden. Erst diese neuen Metaregeln f{\"u}hren zu einer komfortablen logischen Argumentation.

\par
Die Axiome, Definitionen und Regeln werden in syntaktischer Weise vorgestellt, aber um die gew{\"a}hlte Form zu motivieren, geben wir bereits einige semantische \emph{Interpretationen}.

\par
Die aussagenlogischen Operatoren \mbox{`$\neg$'}, \mbox{`$\vee$'}, \mbox{`$\wedge$'}, \mbox{`$\rightarrow$'} und \mbox{`$\leftrightarrow$'} verkn{\"u}pfen beliebige \emph{Aussagen} zu neuen Aussagen. 
Dabei verstehen wir unter einer Aussage eine Gr{\"o}{\ss}e, die nur den Wert {\glqq wahr\grqq} und {\glqq falsch\grqq} annehmen kann.\footnote{Sp{\"a}ter werden wir f{\"u}r die Wahrheitswerte die Symbole $\top$ und $\bot$ definieren.}

Der zweistellige Operator \mbox{`$\vee$'} (Oder-Verkn{\"u}pfung) legt f{\"u}r die Aussagen $\alpha$ und $\beta$ die neue Aussage 
$\alpha \vee \beta$ fest. Sie ist dann und nur dann wahr, wenn wenigstens eine der urspr{\"u}nglichen Aussagen wahr ist.

\par
Durch den einstelligen Operator \mbox{`$\neg$'} wird zu einer Aussage $\alpha$ ihre \emph{Negation} definiert. $\neg \alpha$ ist falsch, wenn $\alpha$ wahr ist und wahr wenn $\alpha$ falsch ist.
            
\par
Die Implikation, die Und-Verkn{\"u}pfung und die logische {\"A}quivalenz werden als Abk{\"u}rzungen definiert.\footnote{Eigentlich werden die Abk{\"u}rzungssymbole $\wedge, \rightarrow, \leftrightarrow$ erst an dieser Stelle definiert und erweitern die Sprachsyntax. Aus Bequemlichkeitsgr{\"u}nden wurden diese Symbole bereits als logische Symbole angegeben.}


Die logische Implikation ({\glqq wenn \ldots dann\glqq}) kann wie folgt definiert werden.
$$\alpha \rightarrow \beta\ :\leftrightarrow \ \neg \alpha\ \lor\ \beta$$


Definition der Und-Verkn{\"u}pfung mittels De-Morgan.
$$\alpha \land \beta\ :\leftrightarrow \ \neg (\neg \alpha\ \lor\ \neg \beta)$$


Die logische {\"A}quivalenz ({\glqq genau dann, wenn\grqq}) wird wie 
{\"u}blich definiert.
$$\alpha \leftrightarrow \beta\ :\leftrightarrow \ (\alpha\ \rightarrow\ \beta)\ \land\ (\beta\ \rightarrow\ \alpha)$$


\par
Nun folgt unser erstes Axiom der Aussagenlogik. Mithilfe dieses 
Axioms k{\"o}nnen {\"u}berfl{\"u}ssige Oder-Verkn{\"u}pfungen entfernt werden.

\begin{ax}[Oder-K{\"u}rzung\index{Axiom!der Oder-K{\"u}rzung}]
\label{axiom:disjunction_idempotence} \hypertarget{axiom:disjunction_idempotence}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:disjunction_idempotence]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $(A\ \lor\ A)\ \rightarrow\ A$
\end{longtable}

\end{ax}




\par
Wenn eine Aussage wahr ist, dann kann eine beliebige weitere Aussage mittels Oder-Verkn{\"u}pfung hinzugef{\"u}gt werden, ohne dass die Aussage falsch wird.

\begin{ax}[Oder-Verd{\"u}nnung\index{Axiom!der Oder-Verd{\"u}nnung}]
\label{axiom:disjunction_weakening} \hypertarget{axiom:disjunction_weakening}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:disjunction_weakening]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $A\ \rightarrow\ (A\ \lor\ B)$
\end{longtable}

\end{ax}




\par
Die Oder-Verkn{\"u}pfung soll kommutativ sein.

\begin{ax}[Oder-Vertauschung\index{Axiom!der Oder-Vertauschung}]
\label{axiom:disjunction_commutative} \hypertarget{axiom:disjunction_commutative}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:disjunction_commutative]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $(A\ \lor\ B)\ \rightarrow\ (B\ \lor\ A)$
\end{longtable}

\end{ax}




\par
Eine Oder-Verkn{\"u}pfung kann auf beiden Seiten einer Implikation hinzugef{\"u}gt werden.

\begin{ax}[Oder-Vorsehung\index{Axiom!der Oder-Vorsehung}]
\label{axiom:disjunction_addition} \hypertarget{axiom:disjunction_addition}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:disjunction_addition]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $(A\ \rightarrow\ B)\ \rightarrow\ ((C\ \lor\ A)\ \rightarrow\ (C\ \lor\ B))$
\end{longtable}

\end{ax}




\par
Wenn ein Pr{\"a}dikat auf alle $x$ zutrifft, so trifft es auch auf ein beliebiges $y$ zu.

\begin{ax}[Spezialisierung\index{Axiom!der Spezialisierung}]
\label{axiom:universalInstantiation} \hypertarget{axiom:universalInstantiation}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:universalInstantiation]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $\forall x\ \phi(x)\ \rightarrow\ \phi(y)$
\end{longtable}

\end{ax}




\par
Wenn ein Pr{\"a}dikat auf irgend ein $y$ zutrifft, so gibt es ein $x$, auf das es zutrifft.

\begin{ax}[Existenz\index{Axiom!der Existenz}]
\label{axiom:existencialGeneralization} \hypertarget{axiom:existencialGeneralization}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:existencialGeneralization]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $\phi(y)\ \rightarrow\ \exists x\ \phi(x)$
\end{longtable}

\end{ax}




\section{Ableitungsregeln\index{Regeln!predikatenlogische}} \label{chapter4_section1} \hypertarget{chapter4_section1}{}
Die im folgenden angegebenen Regeln erm{\"o}glichen uns aus den wahr angesehenen Axiomen neue wahre Formeln zu gewinnen. Aus diesen k{\"o}nnen wiederum weitere Formeln abgeleitet werden, so dass sich die Menge der wahren Formeln sukzessive erweitern l{\"a}sst.

\par


\begin{rul}[Abtrennung, Modus Ponens\index{Modus Ponens}\index{Abtrennungsregel}]
\label{rule:modusPonens} \hypertarget{rule:modusPonens}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:modusPonens]]}
Wenn $\alpha$ und $\alpha \rightarrow \beta$ wahre Formeln sind, dann ist auch $\beta$ eine wahre Formel.
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Ersetzung f{\"u}r freie Subjektvariable]
\label{rule:replaceFree} \hypertarget{rule:replaceFree}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:replaceFree]]}
Ausgehend von einer wahren Formel kann jede freie Subjektvariable durch einen Term ersetzt werden, der keine in der Formel bereits gebundenen Subjektvariablen enth{\"a}lt. Die Ersetzung muss durchg{\"a}ngig in der gesamten Formel erfolgen.
\end{rul}

Das Verbot in dem Term Subjektvariablen zu verwenden, welche in der Originalformel gebunden vorkommen, dient nicht nur der Absicherung der Wohlgeformtheit, sondern besitzt auch eine inhaltliche Bedeutung. Dazu betrachten wir die folgende Ableitung.

\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{rclX}
  $\forall x \ \exists y \ \phi(x, y)$ & $\rightarrow$ & $\exists y \ \phi(z,y)$ 
    & mit \hyperref[axiom:universalInstantiation]{Axiom~5} \\
  $\forall x \ \exists y \ \phi(x, y)$ & $\rightarrow$ & $\exists y \ \phi(y,y)$ 
    & verbotene Ersetzung: $z$ durch $y$, obwohl $y$ bereits gebunden \\
  $\forall x \ \exists y \ x \neq y$ & $\rightarrow$ & $\exists y \ \neq y$ 
    &  Einsetzung von $\neq$ f{\"u}r $\phi$
\end{tabularx}

\par
Diese letzte Aussage ist in vielen Modellen nicht g{\"u}ltig.


\par


\begin{rul}[Umbenennung f{\"u}r gebundene Subjektvariable]
\label{rule:renameBound} \hypertarget{rule:renameBound}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:renameBound]]}
Jede gebundene Subjektvariable kann in eine andere, nicht bereits frei vorkommende, Subjektvariable umbenannt werden. Falls {\"u}ber umzubenennende Variable mehrfach quantifiziert wird, dann braucht die Umbenennung nur im Wirkungsbereich eines bestimmten Quantors zu erfolgen.
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Einsetzung f{\"u}r Pr{\"a}dikatenvariable]
\label{rule:replacePred} \hypertarget{rule:replacePred}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:replacePred]]}
Es sei $\alpha$ eine wahre Formel, die die $n$-stellige Pr{\"a}dikatenvariable $p$ enth{\"a}lt, $x_1$, \ldots, $x_n$ seien paarweise verschiedene Subjektvariable und $\beta(x_1, \ldots, x_n)$ eine beliebige Formel in der die Variablen $x_1$, \ldots, $x_n$ nicht gebunden sind. In der Formel $\beta(x_1, \ldots, x_n)$ m{\"u}ssen jedoch nicht alle $x_1$, \ldots, $x_n$ als freie Subjektvariable vorkommen. 
Weiterhin k{\"o}nnen auch noch weitere Variable frei oder gebunden vorkommen. 

Wenn die folgenden Bedingungen erf{\"u}llt sind, dann kann durch die Ersetzung jedes Vorkommens von $p(t_1, \ldots, t_n)$ mit jeweils passenden Termen $t_1$, \ldots, $t_n$ in $\alpha$ durch $\beta(t_1, \ldots, t_n)$ eine weitere wahre Formel gewonnen werden.

\begin{itemize}

\item 
die freien Variablen von $\beta(x_1, \ldots, x_n)$ ohne $x_1$, \ldots, $x_n$ kommen nicht in $\alpha$ als gebundene Variablen vor

\item
jedes Vorkommen von $p(t_1, \ldots, t_n)$ in $\alpha$ enth{\"a}lt keine gebundene Variable von $\beta(x_1, \ldots, x_n)$

\item
das Ergebnis der Substitution ist eine wohlgeformte Formel

\end{itemize}
\end{rul}

Siehe III \S 5 in \cite{hilback}.

\par
Das Verbot in der Ersetzungsformel keine zus{\"a}tzliche Subjektvariable zu verwenden, welche in der Originalformel gebunden vorkommt, hat nicht nur die Absicherung der Wohlgeformtheit zum Zweck. Es bewahrt auch die inhaltliche G{\"u}ltigkeit. Dazu betrachten wir die folgende Ableitung.

\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{rclX}
  $ \phi(x)$                             & $\rightarrow$ & $\exists y \ \phi(y)$  
    & mit \hyperref[axiom:existencialGeneralization]{Axiom~6} \\
  $ (\exists y \ y = y) \land \phi(x)$   & $\rightarrow$ & $\exists y \ \phi(y)$  
    &  \\
  $ \exists y \ (y = y \land \phi(x))$   & $\rightarrow$ & $\exists y \ \phi(y)$  
    &  \\
  $ \exists y \ (y = y \land x \neq y)$  & $\rightarrow$ & $\exists y \ y \neq y$  
    & verbotene Ersetzung: $\phi(x)$ durch $x \neq y$, obwohl $y$ bereits gebunden \\
  $ \exists y \  x \neq y$  & $\rightarrow$ & $\exists y \ y \neq y$  
    &
\end{tabularx}

\par
Diese letzte Aussage ist in vielen Modellen nicht g{\"u}ltig.


\par
Analog zu Regel~\hyperref[rule:replacePred]{Regel~4} k{\"o}nnen wir auch Funktionsvariablen ersetzen.

\begin{rul}[Einsetzung f{\"u}r Funktionsvariable]
\label{rule:replaceFunct} \hypertarget{rule:replaceFunct}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:replaceFunct]]}
Es sei $\alpha$ eine bereits bewiesene Formel, die die $n$-stellige Funktionsvariable $\sigma$ enth{\"a}lt, $x_1$, \ldots, $x_n$ seien paarweise verschiedene Subjektvariable und $\tau(x_1, \ldots, x_n)$ ein beliebiger Term in dem die Subjektvariablen $x_1$, \ldots, $x_n$ nicht gebunden sind. In dem Term $\tau(x_1, \ldots, x_n)$ m{\"u}ssen nicht alle $x_1$, \ldots, $x_n$ als freie Subjektvariable vorkommen. Weiterhin k{\"o}nnen auch noch  noch weitere Variable frei oder gebunden vorkommen.

Wenn die folgenden Bedingungen erf{\"u}llt sind, dann kann durch die Ersetzung jedes Vorkommens von $\sigma(t_1, \ldots, t_n)$ mit jeweils passenden Termen $t_1$, \ldots, $t_n$ in $\alpha$ durch $\tau(t_1, \ldots, t_n)$ eine weitere wahre Formel gewonnen 
werden.

\begin{itemize}

\item
die freien Variablen von $\tau(x_1, \ldots, x_n)$ ohne $x_1$, \ldots, $x_n$ kommen in $\alpha$ nicht als gebundene Variablen vor

\item
jedes Vorkommen von $\sigma(t_1, \ldots, t_n)$ in $\alpha$ enth{\"a}lt keine gebundene Variable von $\tau(x_1, \ldots, x_n)$

\item
das Ergebnis der Substitution ist eine wohlgeformte Formel

\end{itemize}
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Hintere Generalisierung\index{Generalisierung!hintere}]
\label{rule:universalGeneralization} \hypertarget{rule:universalGeneralization}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:universalGeneralization]]}
Wenn $\alpha \rightarrow \beta(x_1)$ eine wahre Formel ist und $\alpha$ die Subjektvariable $x_1$ nicht enth{\"a}lt, dann ist auch $\alpha \rightarrow (\forall x_1~(\beta(x_1)))$ 
eine wahre Formel.
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Vordere Partikularisierung\index{Partikularisierung!vordere}]
\label{rule:existentialGeneralization} \hypertarget{rule:existentialGeneralization}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:existentialGeneralization]]}
Wenn $\alpha(x_1) \rightarrow \beta$ eine wahre Formel ist und $\beta$ die Subjektvariable $x_1$ nicht enth{\"a}lt, dann ist auch $(\exists x_1~\alpha(x_1)) \rightarrow \beta$ eine wahre Formel.
\end{rul}




Die Aufl{\"o}sung und der Einsatz von Abk{\"u}rzungen und Konstanten ist auch mit der Anwendung von Regeln verbunden. In vielen Texten zur mathematischen Logik werden diese Regeln nicht explizit formuliert, auch dieser Text geht darauf nicht weiter ein. In dem exakten QEDEQ-Format gibt es jedoch entsprechende Regeln.



%% end of chapter Axiome und Schlussregeln

\chapter{Abgeleitete S{\"a}tze} \label{chapter5} \hypertarget{chapter5}{}

Mit den im Kapitel~\ref{chapter4} angegebenen Axiomen und Schlussregeln lassen sich elementare logische Gesetzm{\"a}{\ss}igkeiten ableiten.

\section{Aussagenlogik} \label{chapter5_section0} \hypertarget{chapter5_section0}{}
Zun{\"a}chst behandeln wir die Aussagenlogik.

\par
Um das Pr{\"a}dikat \emph{wahr} zu definieren, kombinieren wir einfach ein Pr{\"a}dikat und seine Negation.

\begin{defn}[Wahr\index{wahr}]
\label{definition:True} \hypertarget{definition:True}{}
{\tt \tiny [\verb]definition:True]]}
$$\top\ \leftrightarrow\ (A\ \lor\ \neg A)$$

\end{defn}

F{\"u}r eine exakte Definiton h{\"a}tten wir eigentlich so etwas wie $p^0_0 = \top$ und $\top :\leftrightarrow (A \wedge \not A)$ schreiben m{\"u}ssen.\footnote{In der noch tiefer liegenden formalen Sprache (siehe  \url{http://www.qedeq.org/current/doc/project/qedeq_logic_language_en.pdf}) hat dieses Pr{\"a}dikat den Namen \emph{TRUE} und besitzt keine Argumente. Daher m{\"u}ssten wir nur die Namen auf die nat{\"u}rlichen Zahlen abbilden um der exakten Definition gerecht zu werden.} In Zukunft schreiben wir jedoch nur das Symbol. Die Stellenzahl sollte aus der Formel ersichtlich sein.


\par
F{\"u}r das Pr{\"a}dikat \emph{falsch} negieren wir einfach \emph{wahr}.\footnote{Analog zu der vorhergehenden Definition k{\"o}nnen wir festlegen $p^0_1 = \bot$}

\begin{defn}[Falsch\index{falsch}]
\label{definition:False} \hypertarget{definition:False}{}
{\tt \tiny [\verb]definition:False]]}
$$\bot\ \leftrightarrow\ \neg \top$$

\end{defn}




\par
Wir haben die folgenden elementaren Aussagen.

\begin{prop}[Elementare S{\"a}tze\index{S{\"a}tze!der Aussagenlogik}]
\label{theorem:propositionalCalculus} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus}{}
{\tt \tiny [\verb]theorem:propositionalCalculus]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{0.9\linewidth}l}}
\centering $\top$ & \label{theorem:propositionalCalculus/aa} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/aa}{} \mbox{\emph{(aa)}} \\
\centering $\neg \bot$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ab} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ab}{} \mbox{\emph{(ab)}} \\
\centering $A\ \rightarrow\ A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ac} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ac}{} \mbox{\emph{(ac)}} \\
\centering $A\ \leftrightarrow\ A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ad} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ad}{} \mbox{\emph{(ad)}} \\
\centering $(A\ \lor\ B)\ \leftrightarrow\ (B\ \lor\ A)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ae} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ae}{} \mbox{\emph{(ae)}} \\
\centering $(A\ \land\ B)\ \leftrightarrow\ (B\ \land\ A)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/af} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/af}{} \mbox{\emph{(af)}} \\
\centering $(A\ \land\ B)\ \rightarrow\ A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ag} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ag}{} \mbox{\emph{(ag)}} \\
\centering $(A\ \leftrightarrow\ B)\ \leftrightarrow\ (B\ \leftrightarrow\ A)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ah} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ah}{} \mbox{\emph{(ah)}} \\
\centering $(A\ \lor\ (B\ \lor\ C))\ \leftrightarrow\ ((A\ \lor\ B)\ \lor\ C)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ai} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ai}{} \mbox{\emph{(ai)}} \\
\centering $(A\ \land\ (B\ \land\ C))\ \leftrightarrow\ ((A\ \land\ B)\ \land\ C)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/aj} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/aj}{} \mbox{\emph{(aj)}} \\
\centering $A\ \leftrightarrow\ (A\ \lor\ A)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ak} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ak}{} \mbox{\emph{(ak)}} \\
\centering $A\ \leftrightarrow\ (A\ \land\ A)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/al} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/al}{} \mbox{\emph{(al)}} \\
\centering $A\ \leftrightarrow\ \neg \neg A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/am} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/am}{} \mbox{\emph{(am)}} \\
\centering $(A\ \rightarrow\ B)\ \leftrightarrow\ (\neg B\ \rightarrow\ \neg A)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/an} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/an}{} \mbox{\emph{(an)}} \\
\centering $(A\ \leftrightarrow\ B)\ \leftrightarrow\ (\neg A\ \leftrightarrow\ \neg B)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ao} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ao}{} \mbox{\emph{(ao)}} \\
\centering $(A\ \rightarrow\ (B\ \rightarrow\ C))\ \leftrightarrow\ (B\ \rightarrow\ (A\ \rightarrow\ C))$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ap} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ap}{} \mbox{\emph{(ap)}} \\
\centering $\neg (A\ \lor\ B)\ \leftrightarrow\ (\neg A\ \land\ \neg B)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/aq} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/aq}{} \mbox{\emph{(aq)}} \\
\centering $\neg (A\ \land\ B)\ \leftrightarrow\ (\neg A\ \lor\ \neg B)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ar} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ar}{} \mbox{\emph{(ar)}} \\
\centering $(A\ \lor\ (B\ \land\ C))\ \leftrightarrow\ ((A\ \lor\ B)\ \land\ (A\ \lor\ C))$ & \label{theorem:propositionalCalculus/as} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/as}{} \mbox{\emph{(as)}} \\
\centering $(A\ \land\ (B\ \lor\ C))\ \leftrightarrow\ ((A\ \land\ B)\ \lor\ (A\ \land\ C))$ & \label{theorem:propositionalCalculus/at} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/at}{} \mbox{\emph{(at)}} \\
\centering $(A\ \land\ \top)\ \leftrightarrow\ A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/au} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/au}{} \mbox{\emph{(au)}} \\
\centering $(A\ \land\ \bot)\ \leftrightarrow\ \bot$ & \label{theorem:propositionalCalculus/av} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/av}{} \mbox{\emph{(av)}} \\
\centering $(A\ \lor\ \top)\ \leftrightarrow\ \top$ & \label{theorem:propositionalCalculus/aw} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/aw}{} \mbox{\emph{(aw)}} \\
\centering $(A\ \lor\ \bot)\ \leftrightarrow\ A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ax} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ax}{} \mbox{\emph{(ax)}} \\
\centering $(A\ \lor\ \neg A)\ \leftrightarrow\ \top$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ay} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ay}{} \mbox{\emph{(ay)}} \\
\centering $(A\ \land\ \neg A)\ \leftrightarrow\ \bot$ & \label{theorem:propositionalCalculus/az} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/az}{} \mbox{\emph{(az)}} \\
\centering $(\top\ \rightarrow\ A)\ \leftrightarrow\ A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/ba} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/ba}{} \mbox{\emph{(ba)}} \\
\centering $(\bot\ \rightarrow\ A)\ \leftrightarrow\ \top$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bb} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bb}{} \mbox{\emph{(bb)}} \\
\centering $(A\ \rightarrow\ \bot)\ \leftrightarrow\ \neg A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bc} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bc}{} \mbox{\emph{(bc)}} \\
\centering $(A\ \rightarrow\ \top)\ \leftrightarrow\ \top$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bd} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bd}{} \mbox{\emph{(bd)}} \\
\centering $(A\ \leftrightarrow\ \top)\ \leftrightarrow\ A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/be} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/be}{} \mbox{\emph{(be)}} \\
\centering $((A\ \rightarrow\ B)\ \land\ (B\ \rightarrow\ C))\ \rightarrow\ (A\ \rightarrow\ C)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bf} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bf}{} \mbox{\emph{(bf)}} \\
\centering $((A\ \leftrightarrow\ B)\ \land\ (C\ \leftrightarrow\ B))\ \rightarrow\ (A\ \leftrightarrow\ C)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bg} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bg}{} \mbox{\emph{(bg)}} \\
\centering $((A\ \land\ B)\ \leftrightarrow\ (A\ \land\ C))\ \leftrightarrow\ (A\ \rightarrow\ (B\ \leftrightarrow\ C))$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bh} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bh}{} \mbox{\emph{(bh)}} \\
\centering $((A\ \land\ B)\ \leftrightarrow\ (A\ \land\ \neg B))\ \leftrightarrow\ \neg A$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bi} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bi}{} \mbox{\emph{(bi)}} \\
\centering $(A\ \leftrightarrow\ (A\ \land\ B))\ \leftrightarrow\ (A\ \rightarrow\ B)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bj} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bj}{} \mbox{\emph{(bj)}} \\
\centering $(A\ \rightarrow\ B)\ \rightarrow\ ((A\ \land\ C)\ \rightarrow\ (B\ \land\ C))$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bk} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bk}{} \mbox{\emph{(bk)}} \\
\centering $(A\ \leftrightarrow\ B)\ \rightarrow\ ((A\ \land\ C)\ \leftrightarrow\ (B\ \land\ C))$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bl} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bl}{} \mbox{\emph{(bl)}} \\
\centering $(A\ \land\ (A\ \rightarrow\ B))\ \rightarrow\ B$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bm} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bm}{} \mbox{\emph{(bm)}} \\
\centering $(A\ \land\ (A\ \rightarrow\ B))\ \leftrightarrow\ (A\ \land\ B)$ & \label{theorem:propositionalCalculus/bn} \hypertarget{theorem:propositionalCalculus/bn}{} \mbox{\emph{(bn)}} 
\end{longtable}

\end{prop}




\section{Pr{\"a}dikatenlogik} \label{chapter5_section1} \hypertarget{chapter5_section1}{}
F{\"u}r die Pr{\"a}dikatenlogik ergeben sich die folgenden S{\"a}tze.

\par
Wir haben die folgenden elementaren Aussagen.

\begin{prop}[Elementare S{\"a}tze\index{S{\"a}tze!der Pr{\"a}dikaten}]
\label{theorem:predicateCalculus} \hypertarget{theorem:predicateCalculus}{}
{\tt \tiny [\verb]theorem:predicateCalculus]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{0.9\linewidth}l}}
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \rightarrow\ \psi(x))\ \rightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \rightarrow\ \forall x\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/a} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/a}{} \mbox{\emph{(a)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \rightarrow\ \psi(x))\ \rightarrow\ (\exists x\ \phi(x)\ \rightarrow\ \exists x\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/b} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/b}{} \mbox{\emph{(b)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \leftrightarrow\ \psi(x))\ \rightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \leftrightarrow\ \forall x\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/c} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/c}{} \mbox{\emph{(c)}} \\
\centering $\exists x\ (\phi(x)\ \land\ \psi(x))\ \rightarrow\ (\exists x\ \phi(x)\ \land\ \exists x\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/d} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/d}{} \mbox{\emph{(d)}} \\
\centering $(\forall x\ \psi(x)\ \lor\ \forall x\ \psi(x))\ \rightarrow\ \forall x\ (\phi(x)\ \lor\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/e} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/e}{} \mbox{\emph{(e)}} \\
\centering $\exists x\ (\phi(x)\ \lor\ \psi(x))\ \leftrightarrow\ (\exists x\ \phi(x)\ \lor\ \exists x\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/f} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/f}{} \mbox{\emph{(f)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \land\ \psi(x))\ \leftrightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \land\ \forall x\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/g} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/g}{} \mbox{\emph{(g)}} \\
\centering $\forall x\ \forall y\ \phi(x, y)\ \leftrightarrow\ \forall y\ \forall x\ \phi(x, y)$ & \label{theorem:predicateCalculus/h} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/h}{} \mbox{\emph{(h)}} \\
\centering $\exists x\ \exists y\ \phi(x, y)\ \leftrightarrow\ \exists y\ \exists x\ \phi(x, y)$ & \label{theorem:predicateCalculus/i} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/i}{} \mbox{\emph{(i)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \rightarrow\ A)\ \rightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \rightarrow\ A)$ & \label{theorem:predicateCalculus/j} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/j}{} \mbox{\emph{(j)}} \\
\centering $\forall x\ (A\ \rightarrow\ \phi(x))\ \leftrightarrow\ (A\ \rightarrow\ \forall x\ \phi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/k} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/k}{} \mbox{\emph{(k)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \land\ A)\ \leftrightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \land\ A)$ & \label{theorem:predicateCalculus/l} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/l}{} \mbox{\emph{(l)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \lor\ A)\ \leftrightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \lor\ A)$ & \label{theorem:predicateCalculus/m} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/m}{} \mbox{\emph{(m)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \leftrightarrow\ A)\ \rightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \leftrightarrow\ A)$ & \label{theorem:predicateCalculus/n} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/n}{} \mbox{\emph{(n)}} \\
\centering $\forall x\ (\phi(x)\ \leftrightarrow\ \psi(x))\ \rightarrow\ (\forall x\ \phi(x)\ \leftrightarrow\ \forall x\ \psi(x))$ & \label{theorem:predicateCalculus/o} \hypertarget{theorem:predicateCalculus/o}{} \mbox{\emph{(o)}} 
\end{longtable}

\end{prop}




\section{Abgeleitete Regeln} \label{chapter5_section2} \hypertarget{chapter5_section2}{}
Aus den logischen Grundlagen lassen sich logische S{\"a}tze und Metaregeln ableiten, die eine bequemere Argumentation erm{\"o}glichen. Erst mit diesem Regelwerk und zus{\"a}tzlichen Definitionen und Abk{\"u}rzungen wird die restliche Mathematik entwickelt. Dabei wird stets nur eine \emph{konservative}\index{konservativ} Erweiterung der bisherigen Syntax vorgenommen. D.~h. in dem erweiterten System lassen sich keine Formeln ableiten, die in der alten Syntax formuliert, aber dort nicht ableitbar sind. Im Folgenden werden solche konservativen Erweiterungen vorgestellt.

\par


\begin{rul}[Ersetzung durch logisch {\"a}quivalente Formeln]
\label{rule:replaceEquiFormula} \hypertarget{rule:replaceEquiFormula}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:replaceEquiFormula]]}
Sei die Aussage $\alpha \leftrightarrow \beta$ bereits bewiesen. Wird dann aus der Formel $\delta$ eine neue Formel $\gamma$ dadurch gewonnen, dass ein beliebiges Vorkommen von $\alpha$ durch $\beta$ ersetzt\footnote{Bei dieser Ersetzung kann es erforderlich sein, dass gebundene Variablen von $\beta$ umbenannt werden m{\"u}ssen, damit sich wieder eine Formel ergibt.} wird und besitzt $\gamma$ zumindest die freien Variablen von $\delta$, dann gilt $\delta \leftrightarrow \gamma$.
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Ersetzung von $\top$ durch bereits abgeleitete Formel]
\label{rule:replaceTrueByTrueFormula} \hypertarget{rule:replaceTrueByTrueFormula}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:replaceTrueByTrueFormula]]}
Sei $\alpha$ eine bereits abgeleitete wahre Formel und $\beta$ eine Formel, die $\top$ enth{\"a}lt. Falls wir durch Ersetzung eines beliebigen Vorkommens von $\top$ in $\beta$ durch $\alpha$ eine wohlgeformte Formel $\gamma$ erhalten, dann ist die folgende Formel ebenfalls wahr: $\beta \leftrightarrow \gamma$
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Ersetzung von bereits abgeleiteter Formel durch $\top$]
\label{rule:replaceTrueFormulaByTrue} \hypertarget{rule:replaceTrueFormulaByTrue}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:replaceTrueFormulaByTrue]]}
Sei $\alpha$ eine bereits abgeleitete wahre Formel und $\beta$ eine Formel, die $\alpha$ enth{\"a}lt. Falls wir durch Ersetzung eines beliebigen Vorkommens von $\alpha$ in $\beta$ durch $\top$ eine wohlgeformte Formel $\gamma$ erhalten, dann ist die folgende Formel ebenfalls wahr: $\beta \leftrightarrow \gamma$
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Abgeleitete Quantifizierung]
\label{rule:derivedQuantification} \hypertarget{rule:derivedQuantification}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:derivedQuantification]]}
Falls wir die wahre Formel $\alpha(x)$ bereits abgeleitet haben und $x$ in $\alpha(x)$ nicht gebunden vorkommt, dann ist die Formel $\forall x \ \alpha(x)$ ebenfalls wahr.
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Allgemeine Assoziativit{\"a}t]
\label{rule:generalAssociativity} \hypertarget{rule:generalAssociativity}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:generalAssociativity]]}
Falls ein zweistelliger Operator das Assoziativit{\"a}tsgesetz erf{\"u}llt, so erf{\"u}llt er auch das allgemeine Assoziativit{\"a}tsgesetz. Dem Operator kann dann eine beliebige Stellenanzahl gr{\"o}{\ss}er eins zugeschrieben werden. So wird beispielsweise anstelle f{\"u}r $(a + b) + (c + d)$ einfach $a + b + c + d$ geschrieben.\footnote{Der $n$-stellig Operator wird mit einer bestimmten Klammerung definiert, jede andere Klammerreihenfolge liefert jedoch dasselbe Ergebnis.}
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Allgemeine Kommutativit{\"a}t]
\label{rule:generalCommutativity} \hypertarget{rule:generalCommutativity}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:generalCommutativity]]}
Falls ein Operator das allgemeine Assoziativit{\"a}tsgesetz erf{\"u}llt und kommutativ ist, so sind alle Permutationen von Parameterreihenfolgen einander gleich oder {\"a}quivalent.\footnote{Je nachdem ob es sich um einen Termoperator oder einen Formeloperator handelt.} So gilt beispielsweise $a + b + c + d  = c + a + d + b$.
\end{rul}




\par


\begin{rul}[Ableitbarkeit aus einer Formel\index{ableitbar}]
\label{rule:definitionDeductionFromFormula} \hypertarget{rule:definitionDeductionFromFormula}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:definitionDeductionFromFormula]]}
Eine Formel $\beta$ hei{\ss}t \emph{aus der Formel $\alpha$ ableitbar}, wenn sich $\beta$ mit Hilfe aller Regeln des Pr{\"a}dikatenkalk{\"u}ls und der um $\alpha$ vermehrten Gesamtheit aller wahren Formeln des Pr{\"a}dikatenkalk{\"u}ls herleitbar und $\alpha \rightarrow \beta$ eine Formel ist. Dabei d{\"u}rfen die beiden SQuantifizierungsregeln, die Einsetzungsregel f{\"u}r Pr{\"a}dikatenvariable und die Umbenennungsregel f{\"u}r freie Subjektvariable nur auf solche Variablen angewendet werden, die in der Formel $\alpha$ nicht auftreten.

\par
Schreibweise: $\alpha \vdash \beta$.
\end{rul}

Die Ableitbarkeit einer Formel $\beta$ aus der Formel $\alpha$ ist streng zu unterscheiden von der Ableitbarkeit einer wahren Formel aus den Axiomen des Kalk{\"u}ls, denn im zweiten Fall stehen mehr Ableitungsregeln zur Verf{\"u}gung. Falls beispielsweise die Formel $A$ als Axiom aufgenommen wird, so ist die Formel $A$ herleitbar. Hingegen l{\"a}{\ss}t sich aus $A$ nicht $B$ ableiten.


\par


\begin{rul}[Deduktionstheorem\index{Deduktionstheorem}]
\label{rule:deductionTheorem} \hypertarget{rule:deductionTheorem}{}
{\tt \tiny [\verb]rule:deductionTheorem]]}
Wenn eine Formel $\beta$ aus einer Formel $\alpha$ ableitbar ist, so ist die Formel $\alpha \rightarrow \beta$ im Pr{\"a}dikatenkalk{\"u}l herleitbar.
\end{rul}





%% end of chapter Abgeleitete S{\"a}tze

\chapter{Identit{\"a}t} \label{chapter6} \hypertarget{chapter6}{}

Alles was existiert besitzt eine spezifische Natur. Jede Entit{\"a}t existiert als etwas besonderes und besitzt charakterisierende Merkmale. Identit{\"a}t ist etwas, das eine Entit{\"a}t definierbar und erkennbar macht im Sinne einer Menge von Eigenschaften oder Merkmalen, welche sie von anderen Entiti{\"a}ten unterscheiden. Eine Entit{\"a}t kann mehrere Merkmale besitzen, aber alle Merkmale die sie besitzt ist Teil ihrer Identit{\"a}t.

\section{Axiome der Identit{\"a}t} \label{chapter6_section0} \hypertarget{chapter6_section0}{}
Wir starten mit den Identit{\"a}tsaxiomen.

\par
Es wird eine zweistellige Pr{\"a}dikatskonstante festgelegt, welche in der Interpretation die Identit{\"a}t von Subjekten ausdr{\"u}cken soll.

\begin{idefn}[Identit{\"a}t\index{Identit{\"a}t}\index{Definition!der Identit{\"a}t}]
\label{definition:identity} \hypertarget{definition:identity}{}
{\tt \tiny [\verb]definition:identity]]}
$$x \ = \ y
$$

\end{idefn}




\par
Aus Bequemlichkeit definieren wir auch die Negation der Identit{\"a}tskonstante.

\begin{defn}[Verschiedenheit\index{Verschiedenheit}\index{Definition!der Verschiedenheit}]
\label{definition:notEqual} \hypertarget{definition:notEqual}{}
{\tt \tiny [\verb]definition:notEqual]]}
$$x \ \neq \ y\ \leftrightarrow\ \neg x \ = \ y$$

\end{defn}




\par


\begin{ax}[Reflexivit{\"a}t der Identit{\"a}t\index{Reflexivit{\"a}t!der Identit{\"a}t}\index{Identit{\"a}t!Reflexivit{\"a}t der}]
\label{axiom:identityIsReflexive} \hypertarget{axiom:identityIsReflexive}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:identityIsReflexive]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $x \ = \ x$
\end{longtable}

\end{ax}




\par


\begin{ax}[Leibnizsche Ersetzbarkeit\index{Leibnizsche Ersetzbarkeit}]
\label{axiom:leibnizReplacement} \hypertarget{axiom:leibnizReplacement}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:leibnizReplacement]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $x \ = \ y\ \rightarrow\ (\phi(x)\ \rightarrow\ \phi(y))$
\end{longtable}

\end{ax}




\par


\begin{ax}[Symmetrie der Identit{\"a}t\index{Identit{\"a}t!Symmetrie der}]
\label{axiom:symmetryOfIdentity} \hypertarget{axiom:symmetryOfIdentity}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:symmetryOfIdentity]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $x \ = \ y\ \rightarrow\ y \ = \ x$
\end{longtable}

\end{ax}




\par


\begin{ax}[Transitivit{\"a}t der Identit{\"a}t\index{Identit{\"a}t!Transitivit{\"a}t der}]
\label{axiom:transitivityOfIdentity} \hypertarget{axiom:transitivityOfIdentity}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:transitivityOfIdentity]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $(x \ = \ y\ \land\ y \ = \ z)\ \rightarrow\ x \ = \ z$
\end{longtable}

\end{ax}




\par
Bei der Leibnizschen Ersetzbarkeit k{\"o}nnen wir die zweite Implikation umkehren.

\begin{prop}
\label{theorem:leibnizEquivalence} \hypertarget{theorem:leibnizEquivalence}{}
{\tt \tiny [\verb]theorem:leibnizEquivalence]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $x \ = \ y\ \rightarrow\ (\phi(x)\ \leftrightarrow\ \phi(y))$
\end{longtable}

\end{prop}




\par


\begin{prop}
\label{theorem:identyImpliesFunctionalEquality} \hypertarget{theorem:identyImpliesFunctionalEquality}{}
{\tt \tiny [\verb]theorem:identyImpliesFunctionalEquality]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $x \ = \ y\ \rightarrow\ f(x) \ = \ f(y)$
\end{longtable}

\end{prop}




\section{Eingeschr{\"a}nkte Quantoren\index{Quantor!eingeschr{\"a}nkter}} \label{chapter6_section1} \hypertarget{chapter6_section1}{}
Jede Quantifizierung ben{\"o}tigt eine Subjektvariable und einen Bereich {\"u}ber den die Quantifizierung l{\"a}uft. Bis jetzt haben wir einen festen Bereich f{\"u}r jede Quantifizierung vorausgesetzt. Die Angabe eines Bereichs erm{\"o}glicht uns auszudr{\"u}cken, dass ein Pr{\"a}dikat nur f{\"u}r einen eingeschr{\"a}nkten Bereich g{\"u}ltig ist.

\par
Bei der folgenden Definition muss die f{\"u}r $\alpha(x)$ eingesetzte Formel {\glqq erkennen lassen\grqq}, {\"u}ber welche Subjektvariable quantifiziert wird. Das ist in der Regel dar{\"u}ber zu entscheiden, welche freie Subjektvariable als erstes in der Formel vorkommt.\footnote{Beispielsweise ist in der folgenden Formel erkennbar, dass die zweite Quantifikation {\"u}ber die Subjektvariable $m$ l{\"a}uft: $\forall \ n \in \mathbb{N} \ \forall \ m \in n \ m < n $.} In der exakten Syntax des QEDEQ-Formats\footnote{Siehe wieder unter \url{http://www.qedeq.org/current/xml/qedeq/}.} ist die Subjektvariable immer angegeben.

\begin{ax}[Eingeschr{\"a}nkter Allquantor\index{Allquantor!eingeschr{\"a}nkter}]
\label{axiom:restrictedUniversalQuantifier} \hypertarget{axiom:restrictedUniversalQuantifier}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:restrictedUniversalQuantifier]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $\forall \ \alpha(x)\ \ \beta(x)\ \leftrightarrow\ \forall x\ (\alpha(x)\ \rightarrow\ \beta(x))$
\end{longtable}

\end{ax}




\par
Dazu passt die folgende Definition f{\"u}r den eingeschr{\"a}nkten Existenzquantor.\footnote{Passend, da $\neg \forall \ \psi(x) \ (\phi(x)) \leftrightarrow \exists \ x \ \neg (\psi(x) \rightarrow \phi(x)) \leftrightarrow \exists \ x \ (\psi(x) \land \neg\phi(x)) \leftrightarrow \exists \ \psi(x) \ (\neg\phi(x))$.}

\begin{ax}[Eingeschr{\"a}nkter Existenz\index{Existenzquantor!eingeschr{\"a}nkter}]
\label{axiom:restrictedExistentialQuantifier} \hypertarget{axiom:restrictedExistentialQuantifier}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:restrictedExistentialQuantifier]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $\exists \ \alpha(x)\ \ \beta(x)\ \leftrightarrow\ \exists x\ (\alpha(x)\ \land\ \beta(x))$
\end{longtable}

\end{ax}




F{\"u}r eingeschr{\"a}nkte Quantoren gelten analog zu Proposition \hyperref[theorem:predicateCalculus]{Proposition~2} entsprechende Formeln.
\\
+++


\par
F{\"u}r die Existenz genau eines Individuums mit einer bestimmten Eigenschaft wird nun ein gesonderter Quantor eingef{\"u}hrt.

\begin{ax}[Eingeschr{\"a}nkter Existenz f{\"u}r genau ein Individuum\index{Existenzquantor!eingeschr{\"a}nkter f{\"u}r ein Individuum}]
\label{axiom:restrictedUniquenessQuantifier} \hypertarget{axiom:restrictedUniquenessQuantifier}{}
{\tt \tiny [\verb]axiom:restrictedUniquenessQuantifier]]}
\mbox{}
\begin{longtable}{{@{\extracolsep{\fill}}p{\linewidth}}}
\centering $\exists! \ \alpha(x)\ \ \beta(x)\ \leftrightarrow\ \exists \ \alpha(x)\ \ (\beta(x)\ \land\ \forall \ \alpha(y)\ \ (\beta(y)\ \rightarrow\ x \ = \ y))$
\end{longtable}

\end{ax}




\begin{rul}[Termdefinition durch Formel]\hypertarget{rule:termdef}{}
Falls die Formel $\exists! x \ \alpha(x)$ gilt, dann kann die Termsyntax durch $D(x, \alpha(x))$ erweitert werden. Die Formel $alpha(x)$ m{\"o}ge die Variable $y$ nicht enthalten und $\beta(y)$ sei eine Formel, welche die Variable $x$ nicht enth{\"a}lt. Dann wird durch $\beta(D(x, \alpha(x)))$ eine
Formel definiert durch $\beta(y) \land \exists! x \ (\alpha(x) \land x = y)$. Auch in der abk{\"u}rzenden Schreibweise gilt die Subjektvariable $x$ als gebunden, die Subjektvariable $y$ ist mit den obigen Einschr{\"a}nkungen frei w{\"a}hlbar und wird in der Abk{\"u}rzung nicht weiter beachtet. Ver{\"a}nderungen von $\alpha$ in eine andere Formel $\alpha'$, die eventuell erforderlich sind, damit keine Variablenkollisionen mit Variablen aus $\beta$ entstehen, m{\"u}ssen jedoch auch in der Abk{\"u}rzung durchgef{\"u}hrt werden. Alle Termbildungsregeln werden entsprechend erweitert. Der Ausdruck ist auch ersetzbar durch $\exists! y \ (\beta(y) \land \alpha(y)$ oder durch $\beta(y) \land \alpha(y)$.
\end{rul}



%% end of chapter Identit{\"a}t

\backmatter

\begin{thebibliography}{99}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Literaturverzeichnis}
\bibitem{witheruss} \emph{A.N. Whitehead, B. Russell}, Principia Mathematica, Cambridge University Press, London 1910

\bibitem{bernays} \emph{P. Bernays}, Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalkuls der {\glqq Principia Mathematica\grqq}, Math. Zeitschr. 25 (1926), 305-320

\bibitem{hilback} \emph{D. Hilbert, W. Ackermann}, Grundz{\"u}ge der theoretischen Logik, 2. Ed., Springer, Berlin 1938. Siehe auch \url{http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/scav/hilbert/hilbert.html}

\bibitem{novikov} \emph{P.S. Novikov}, Grundz{\"u}ge der mathematischen Logik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973

\bibitem{mendelson} \emph{E. Mendelson}, Introduction to Mathematical Logic, 3. ed., Wadsworth, Belmont, CA 1987

\bibitem{guenter} \emph{V.~G{\"u}nther}, Vorlesung {\glqq Mathematik und Logik\grqq}, gehalten an der Universit{\"a}t Hamburg, Wintersemester 1994/1995

\bibitem{meyling} \emph{M. Meyling}, Hilbert II, Darstellung von formal korrektem mathematischen Wissen, Grobkonzept, \url{http://www.qedeq.org/current/doc/project/qedeq_basic_concept_de.pdf}



%% QEDEQ modules that use this one:
\bibitem{qedeq_set_theory_v1} qedeq\_set\_theory\_v1 \url{http://www.qedeq.org/0_04_02/doc/math/qedeq_set_theory_v1.xml}


\end{thebibliography}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\indexname} \printindex

\end{document}

