<LATEX language="en">Elements of Mathematical Logic</LATEX> <LATEX language="de">Anfangsgründe der mathematischen Logik</LATEX>

<LATEX language="en"> Terme\index{term} and Formulas\index{formula} </LATEX> <LATEX language="de"> Terme\index{Term} und Formeln\index{Formel} </LATEX> 0\}$, die \emph{Funktionskonstanten}\index{Funktionskonstanten}\index{Konstante!Funktions-}\footnote{Funktionskonstanten dienen ebenfalls der Bequemlichkeit und werden später für direkt definierte Klassenfunktionen verwendet. So zum Beispiel zur Potenzklassenbildung, zur Vereinigungsklassenbildung und für die Nachfolgerfunktion. All diese Funktionskonstanten können auch als Abkürzungen verstanden werden.} $H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, die \emph{Subjektvariablen}\index{Subjektvariable}\index{Variable!Subjekt-} $V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, sowie die \emph{Prädikatenvariablen}\index{Prädikatenvariable}\index{Variable!Prädikaten-} $P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$ vor.\footnote{Unter $\omega$ werden die natürlichen Zahlen, die Null eingeschlossen, verstanden. Alle bei den Mengenbildungen beteiligten Symbole werden als paarweise verschieden vorausgesetzt. Das bedeutet z.~B.: $f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$ und $h^k_i \neq v_j$.} Unter der \emph{Stellenzahl} eines Operators wird der obere Index verstanden. Die Menge der nullstelligen Prädikatenvariablen wird auch als Menge der \emph{Aussagenvariablen}\index{Aussagenvariable}\index{Variable!Aussagen-} bezeichnet: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$. Für die Subjektvariablen werden abkürzend auch bestimmte Kleinbuchstaben geschrieben. Die Kleinbuchstaben stehen für verschiedene Subjektvariablen: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'}, \mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'}, \mbox{$v_5 = $ `$z$'}. Weiter werden als Abkürzungen verwendet: für die Prädikatenvariablen $p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', wobei die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird, für die Aussagenvariablen $a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' und $a_3 = $ `$C$'. Als Abkürzungen für Funktionsvariablen wird festgelegt $f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', wobei wiederum die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird. Bei allen aussagenlogischen zwei\-stelligen Operatoren wird der leichteren Lesbarkeit wegen die Infixschreibweise benutzt, dabei werden die Symbole `(' und `)' verwandt. D.~h. für den Operator $\land$ mit den Argumenten $A$ und $B$ wird $(A \land B)$ geschrieben. Es gelten die üblichen Operatorprioritäten und die dazugehörigen Klammerregeln. Insbesondere die äußeren Klammern werden in der Regel weggelassen. \par Nachfolgend werden die Operatoren mit absteigender Priorität aufgelistet. $$ \begin{array}{c} \neg, \forall, \exists \\ \land \\ \lor \\ \rightarrow, \leftrightarrow \\ \end{array} $$ \par Der Begriff \emph{Term\index{Term}} wird im Folgenden rekursiv definiert: \begin{enumerate} \item Jede Subjektvariable ist ein Term. \item Seien $i, k \in \omega$ und $t_1$, \ldots, $t_k$ Terme. Dann ist auch $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ und falls $k > 0$, so auch $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ ein Term. \end{enumerate} Alle nullstelligen Funktionskonstanten $\{h^0_i~|~i, \in \omega\}$ sind demzufolge Terme, sie werden auch \emph{Individuenkonstanten} genannt.\footnote{Analog dazu könnten Subjektvariablen auch als nullstellige Funktionsvariablen definiert werden. Da die Subjektvariablen jedoch eine hervorgehobene Rolle spielen, werden sie auch gesondert bezeichnet.} \par Die Begriffe \emph{Formel\index{Formel}}, \emph{freie\index{freie Subjektvariable}\index{Subjektvariable!freie}} und \emph{gebundene\index{gebundene Subjektvariable}\index{Subjektvariable!gebundene}} Subjektvariable werden rekursiv wie folgt definiert: \begin{enumerate} \item Jede Aussagenvariable ist eine Formel, solche Formeln enthalten keine freien oder gebundenen Subjektvariablen. \item Ist $p^k$ eine $k$-stellige Prädikatenvariable und $c^k$ eine $k$-stellige Prädikatenkonstante und sind $t_1, t_2, \ldots, t_k$ Terme, so sind $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ und $c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ Formeln. Dabei gelten alle in $t_1, t_2, \ldots, t_k$ vorkommenden Subjektvariablen als freie Subjektvariablen, gebundene Subjektvariablen kommen nicht vor.\footnote{Dieser zweite Punkt umfasst den ersten, welcher nur der Anschaulichkeit wegen extra aufgeführt ist.} \item Falls in der Formel $\alpha$ die Subjektvariable $x_1$ nicht gebunden vorkommt\footnote{D.~h. $x_1$ kommt höchstens frei vor.}, dann sind auch $\forall x_1~\alpha$ und $\exists x_1~\alpha$ Formeln\footnote{Dabei wird $\forall$ als \emph{Allquantor}\index{Allquantor}\index{Quantor!All-} und $\exists$ als \emph{Existenzquantor}\index{Existenzquantor}\index{Quantor!Existenz-} bezeichnet}, und bis auf $x_1$ bleiben alle freien Subjektvariablen von $\alpha$ auch frei, und zu den gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ kommt $x_1$ hinzu. \item Es seien $\alpha, \beta$ Formeln, in denen keine Subjektvariablen vorkommen, die in einer Formel gebunden und in der anderen frei sind. Dann sind auch $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$, $(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$, $(\alpha \leftrightarrow \beta)$ Formeln. Subjektvariablen, welche in $\alpha$, $\beta$ frei (bzw. gebunden) vorkommen, bleiben frei (bzw. gebunden). \end{enumerate} Alle Formeln die nur durch Anwendung von 1. und 4. gebildet werden, heißen Formeln der \emph{Aussagenalgebra}. \par Es gilt für jede Formel $\alpha$: die Menge der freien und der gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ sind disjunkt. \par Falls eine Formel die Gestalt $\forall x_1 ~ \alpha$ bzw. $\exists x_1 ~ \alpha$ besitzt, dann heißt die Formel $\alpha$ der \emph{Wirkungsbereich} des Quantors $\forall$ bzw. $\exists$. \par Alle Formeln, die beim Aufbau einer Formel mittels 1. bis 4. benötigt werden, heißen \emph{Teilformeln}. ]]>